纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

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数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是两种数学证明最好的措施,常用于证明命题(命题是对某个现象的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了已经 已经 领域(比如数学分析)的基础,很多很多很多很多数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法两种非常简单。将会.我歌词 让你证明某个命题对于自然数n都成立,这么:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下中间的有另另两个步骤。它们实际上原因,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。已经 ,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,.我歌词 选着n的倒下会原因n + 1的倒下,已经 推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

.我歌词 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你已经 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,还还可不可以不还可不可以 算出1到1150的累加,还可不可以回家。于是高斯想出了中间的最好的措施。天才还会 被逼出来的么?)

.我歌词 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,已经 命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    这么,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。已经 ,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

已经 ,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指有另另两个计算机应用程序调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求应用程序有另另两个还可不可以达到的终止条件(base case)。比如下面的应用程序,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在应用程序中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。让你得到f(n),还还可不可以不还可不可以 计算f(n-1);让你f(n-1),还还可不可以不还可不可以 计算f(n-2)……直到f(1)。将会.我歌词 将会知道了f(1)的值,.我歌词 就还还可不可以填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的应用程序实现。使用递归设计应用程序的已经 ,.我歌词 设置base case,并假设.我歌词 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,.我歌词 只关注初始和衔接,而还还可不可以 还还可不可以 关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据价值形式实现的。正如.我歌词 中间所说的,计算f(n),还还可不可以不还可不可以 f(n-1);计算f(n-1),还还可不可以不还可不可以 f(n-2)……。.我歌词 在寻找到f(1)已经 ,会有已经 空缺: f(n-1)的值哪些地方? f(n-2)的值是哪些地方? …… f(2)的值是哪些地方?f(1)的值是哪些地方? .我歌词 的第有另另两个现象是f(n)是哪些地方,结果,你已经 现象引出下有另另两个现象,再下有另另两个现象…… 每个现象的解答都依赖于下有另另两个现象,直到.我歌词 找到第有另另两个还还可不可以回答的现象: f(1)的值是哪些地方?

.我歌词 用栈来保存.我歌词 在探索过程中的现象。C语言中,函数的调用将会是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,很多很多很多很多很自然的,递归用栈来保存.我歌词 的“现象” 。

.我歌词 假设栈向下增长。首先,.我歌词 调用f(1150),这么当执行到

return f(n-1) + n; 

f(1150)暂停执行,并记录当前的情况,比如n的值,当前执行到的位置。已经 调用f(99),栈增加有另另两个frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

已经 返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(1150),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(1150)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,也还还可不可以自行手动实现栈。那我 还还可不可以得到更好的运行强度。

总结

数学归纳法

递归

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